SIFAT-SIFAT KERATAN
OBJEKTIF AM :
Mempelajari dan memahami sentroid, momen luas kedua dan modulus keratan .
OBJEKTIF KHUSUS:
Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat:-
INPUT 8A SIFAT-SIFAT KERATAN
8.0 PENGENALAN
Cuba anda perhatikan kedua-dua rasuk pada rajah 8.1. Kedua-dua rasuk tersebut menerima tahap pembebanan yang sama. Pertimbangkan…….
- Rasuk manakah yang anda fikir LEBIH kukuh?
- Sekiranya anda menjawab rasuk A; apakah rasionalnya?
- Sekiranya anda menjawab rasuk B; apakah rasionalnya?
- Adakah bentuk keratan rasuk menentukan tahap kekukuhan sesuatu rasuk?
Amnya terdapat pelbagai bentuk anggota struktur yang digunakan dalam bidang Kejuruteraan Awam. Sebagaimana dalam rajah 8.1, rasuk A mempunyai bentuk keratan rentas segiempat sama manakala rasuk B mempunyai bentuk keratan rentas segiempat tepat. Selain daripada jenis bahan yang digunakan (i.e konkrit atau keluli), bentuk anggota struktur juga menentukan kekuatan dan ketegaran sesuatu struktur.
Persoalan rasuk manakah yang lebih kukuh dapat ditentukan dengan menganalisis nilai momen luas kedua. Penentuan nilai momen luas kedua sangat berkait rapat dengan sentroid. Oleh yang demikian, unit ini akan membincangkan dengan lebih lanjut berhubung sentroid dan momen luas kedua bagi bentuk keratan yang lazim dalam bidang kejuruteraan.
8.1 KESAN DAYA SISI
Pertimbangkan dua bentuk rasuk mudah yang dibebankan seperti rajah 8.2(a) dan 8.2 (b). Kedua-dua jenis rasuk tersebut mengalami lenturan pada arah yang berbeza. Lenturan tersebut ditindakkan oleh beban momen pada bahagian sisi rasuk tersebut. Kesan beban momen adalah wujudnya momen lentur yang seterusnya menyebabkan berlaku tegasan lentur dalam rasuk.
Perhatikan filamen pada rasuk yang melendut (rajah 8.2a), permukaan atas rasuk mengalami mampatan dan beransur kurang sehingga permukaan bawah rasuk pula mengalami zon tegangan. Bayangkan sekiranya rasuk tersebut terdiri dari ratusan lapisan filamen. Adakah terdapat filamen yang tidak mengalami apa-apa perubahan i.e. mampatan atau tegangan? Ya, memang terdapat filamen yang tidak mengalami ubahbentuk dan ia terletak pada satah neutral. Satah neutral bagi sesuatu jasad amnya, melalui pusat graviti, manakala bagi satu unsur luasan, ia melalui titik sentroid. Bahagian yang seterusnya akan membincangkan sentroid dengan lebih lanjut.
8.2 SENTROID
Anda pasti maklum bahawa bumi berputar pada paksi yang melalui pusat di mana semua jisimnya terpumpun; ia dikenali sebagai pusat graviti. Sentroid merupakan istilah yang digunakan untuk menggambarkan pusat bagi sesuatu satah luasan (bahan yang tidak mempunyai jisim). Kedua-dua pusat graviti dan sentroid merupakan titik keseimbangan. Amnya sentroid boleh dianggap pusat graviti bagi sesuatu bentuk yang hanya mempunyai luasan dan tidak mempunyai berat. Penentuan kedudukan titik sentroid boleh ditentukan berdasarkan bentuk geometri.
8.2.1 Sentroid Bentuk Geometri Asas
Kedudukan titik sentroid lazimnya berpandukan kepada paksi rujukan iaitu paksi pugak (y) dan paksi ufuk (x). Nilai sentroid ditulis dalam sistem koordinat (,). Rajah 8.3 menunjukkan kedudukan titik sentroid, s bagi bentuk geometri asas.
8.2.2 Sentroid Bentuk Yang Mempunyai Dua Paksi Simetri
Terdapat bentuk yang mempunyai gabungan beberapa bentuk geometri asas yang mempunyai dua paksi simetri. Sentroid bagi bentuk ini adalah garispusat persilangan kedua-dua paksi. Ianya sangat mudah untuk ditentukan, hanya perlu membahagi dua nilai lebar bentuk bagi mendapatkan nilai dan membahagi dua nilai tinggi bagi mendapatkan nilai . (Rajah 8.4)
8.2.3 Sentroid Bagi Luas Komposit
Terdapat bentuk geometri yang langsung tidak mempunyai paksi simetri. Ia mungkin terdiri dari gabungan pelbagai bentuk geometri asas dan mempunyai keluasan rencam/komposit. Sentroid bentuk komposit dapat ditentukan dengan kaedah momen. Pertimbangkan bentuk seperti rajah 8.5.
Bentuk komposit pada rajah 8.5 mempunyai rongga/lubang bulat. Bagi memudahkan kiraan, bentuk di atas dibahagikan kepada tiga komponen bentuk geometri i.e segitiga, segiempat, bulatan dan masing-masing mempunyai keluasan A1, A2 dan A3.
Menentukan sentroid keratan dengan dua paksi simetri
Tentukan kedudukan sentroid bagi keratan pembentung kekotak pada rajah 8.6. Pembentung tersebut mempunyai keratan 1000mm x 800mm dengan ketebalan 300mm.
A1 = 150 x 30 ; A2 = 120 x 30 ; = (30 2) + 120 ; = 120 2
= 4500mm2 = 3600mm2 = 135mm = 60mm
= = = 75mm#
=
=
= 101.67mm #
Menentukan sentroid keratan komposit
Tentukan kedudukan sentroid bagi bentuk seperti pada rajah 8.8.
y 120mm
2 40mm
140mm 1
x
40mm
Rajah 8.8: Keratan Tidak Simetri
Penyelesaian
A1 = 140 x 40
= 5600mm2
A2 = 80 x 40
= 3200mm2
Kedudukan sentroid bentuk 1 ke paksi x, 1 = 140 2
= 70mm
Kedudukan sentroid bentuk 2 ke paksi x, =
= 120mm
Kedudukan sentroid bentuk 1 ke paksi y, = 40 2
= 20mm
Kedudukan sentroid bentuk 2 ke paksi y, =
= 80mm
sambungan ........
Dengan menggunakan formula sentroid untuk bentuk komposit;
(i) Jarak sentroid dari paksi y, = 30mm#(keratan simetri pada paksi y)
(ii) Jarak sentroid dari paksi x, , diselesaikan dalam jadual.
Komponen
|
A (mm2)
|
(mm)
|
A(mm3)
|
Segitiga, 1
|
0.5 x 15 x 30 = 225 (+)
|
30/3 = 10
|
2250
|
Segiempat, 2
|
30x30 = 900 (+)
|
30/2 = 15
|
13 500
|
Semibulatan, 3
|
( x 152 )2 = 353.4 (-)
|
(4 x 15)/3
= 6.37
|
2251.2
|
Segitiga, 4
|
0.5 x 15 x 30 = 225 (+)
|
30/2 = 15
|
2250
|
|
996.6
|
15 748.8
|
=
=
= 15.8mm#
- SEBELUM MENERUSKAN KE INPUT YANG BERIKUTNYA,
SILA UJI KEFAHAMAN ANDA.
- SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
8.1 Benar – Palsu [ Tandakan pada kotak yang berkenaan ]
(a) Sentroid adalah titik di mana semua jisim sesuatu jasad terpumpun.
Benar Palsu
(b) Sentroid bagi bentuk yang mempunyai dua paksi simetri adalah titik
persilangan paksi-paksi tersebut.
Benar Palsu
(c) Sentroid merupakan satu kriteria penting dalam penentuan sifat keratan.
Benar Palsu
(d) Sekiranya keratan mempunyai paksi simetri y-y, hanya jarak perlu dikira.
Benar Palsu
8.2 Nyatakan jarak ke sentroid suatu keratan semi bulatan dengan jejari r.
_____________
8.3 Lakarkan kedudukan sentroid bagi bentuk keratan pada rajah 8.10.
Rajah 8.10: Keratan Simetri
8.4 Tentukan kedudukan sentroid bagi keratan segiempat tepat yang mempunyai ukuran 50mm lebar dan 100mm dalam.
SIFAT-SIFAT KERATAN
8.3 MOMEN LUAS KEDUA
Momen luas kedua juga di kenali sebagai momen sifat tekun. Momen luas kedua melambangkan kekukuhan sesuatu bentuk luasan. Ianya ditakrifkan sebagai momen dari momen luas pertama. Antara lain, momen luas kedua merupakan luasan didarab dengan kuasa dua lengan momen terhadap sesuatu paksi. Nilainya tidak sama bagi paksi yang berlainan.
Rajah 8.11 : Unsur Luas A
Momen luas kedua terhadap paksi x;
Ix =
Momen luas kedua terhadap paksi y;
Rajah 8.12 : Momen Luas Kedua Bentuk Lazim
Di dalam merekabentuk sesuatu anggota struktur, keupayaan sesuatu anggota menanggung beban merupakan faktor yang penting. Nilai momen luas kedua merupakan antara faktor yang utama bagi memastikan kemampuan anggota struktur menanggung beban kenaan. Pertimbangkan dua keratan rasuk segiempat tepat berikut;
Kedua-dua rasuk mempunyai luas keratan yang sama, namun nilai momen luas kedua, Ipg yang berbeza. Keratan yang pertama memberi nilai momen luas kedua yang lebih besar, dengan itu ianya lebih kukuh dari bentuk yang kedua. Bagi tujuan perbandingan, pertimbangkan keratan bagi bentuk pada rajah 8.14.
Bentuk rasuk
|
Luas keratan rentas
|
Momen luas kedua
|
100 mm
200 mm
|
A = 20 x 103 mm2
|
I = 66.7 x 106 mm4
|
A = 20 x 103 mm2
|
I = 172.2 x 106 mm4
|
A = 20 x 103 mm2
|
I = 228.4 x 106 mm4
|
50 mm
200mm
|
A = 20 x 103 mm2
|
I = 191.7 x 106 mm4
|
Rajah 8.14 : Bentuk Keratan Sama Luas
8.3.1 Teorem Paksi Selari
Teorem paksi selari menyatakan bahawa momen luas kedua terhadap sesuatu paksi mempunyai kaitan dengan momen luas kedua pada paksi sentroid sesuatu luas keratan. Momen luas kedua terhadap sebarang paksi andaian dalam arah x di berikan oleh;
Ix = --------- (i)
Pertimbangkan satu luasan seperti berikut
Rajah 8.15 : Unsur Luasan A
- Kedudukan paksi sentroid x’ yang melalui titik sentroid, s adalah selari dengan paksi x.
- d, merupakan jarak antara dua paksi i.e paksi x dan paksi sentroid.
- Jarak luas satu unsur kecil dA dari paksi x ialah y = y’ + d
- Dari persamaan (i), jika y di ganti dengan y’ + d , maka;
Ix =
= --------(ii)
Dari persamaan (ii):-
- Kamiran pertama :- Momen luas kedua melalui paksi sentroid
- Kamiran kedua :- Memberi nilai sifar kerana jumlah momen pada
paksi yang melalui sentroid adalah sifar.
- Kamiran ketiga :- Jumlah luas A
Oleh itu:-
*Nota : Teorem paksi selari hanya boleh digunapakai sekiranya salah satu daripada paksi adalah paksi sentroid.
8.4 MODULUS KERATAN
Takrifan: Nisbah di antara nilai momen luas kedua sekitar paksi sentroid
bagi sesuatu keratan dengan jarak terjauh diantara paksi sentroid dengan bahagian bawah/atas keratan.
Lazimnya simbol yang digunakan adalah Z.
Pertimbangkan keratan segiempat tepat dengan lebar, b dan tinggi, d seperti pada rajah 8.16.
Rajah 8.16 : Keratan Rasuk
Anggap Ix sebagai momen luas kedua sekitar paksi xx.
Zx =
= ( di mana b/2 merupakan jarak sentroid terjauh ke hujung keratan @ ymak)
Mengira momen luas kedua bentuk geometri asas
Kirakan momen luas kedua bagi segiempat tepat melalui paksi x.(Rajah 8.17)
Rajah 8.17
x
Penyelesaian
Bagi segiempat tepat, momen luas kedua sekitar paksi sentroid;
Ipg =
=
= 2.08 x 106 mm4
Dengan teorem paksi selari;
Ix = Ipg + Ad2
= (2.08 x 106) + (100 x 25 x 502)
= 8.33 x 106 mm4 #
______________________________________________________
Mengira momen luas kedua bentuk geometri asas
Kirakan momen luas kedua bagi bentuk keratan segitiga kakisama melalui paksi x.
Rajah 8.18
x
Penyelesaian
Bagi segitiga kakisama,
Ipg =
=
= 1.74 x 105 mm4
Dengan teorem paksi selari;
Ix = Ipg + Ad2
= 1.74 x 105 + (
= 5.21 x 105 mm4 #
Menentukan momen luas kedua bentuk ‘T’
Kirakan momen luas kedua bagi keratan ‘T’, sekitar paksi sentroid (rajah 8.19)
x
Rajah 8.19: Keratan ‘T’
Penyelesaian
(i) Bahagikan keratan ‘T’ kepada dua komponen segiempat tepat.
(ii) Tentukan kedudukan sentroid.
Komponen
|
A (mm2)
|
y (mm)
|
Ay
|
1
|
100 x 10
= 1000
|
100 + 10/2
= 105
|
1000 x 105
= 105 000
|
2
|
100 x 10
= 1000
|
100 2
= 50
|
1000 x 50
= 50 000
|
2000
|
155 000
|
=
=
= 77.5 mm
(iii) Menentukan momen luas kedua untuk dua komponen keratan ‘T’.
Komponen 1
Ipg =
=
= 8.33 x 103 mm4
Dari teorem paksi selari ;
Ipg1 = Ipg + Ad2
= 8.33 x 103 + [1000 x (105 – 77.5)2]
= 7.65 x 105 mm4
Komponen 2
Ipg =
=
= 8.33 x 105 mm4
Dari teorem paksi selari ;
Ipg2 = Ipg + Ad2
= 8.33 x 105 + [1000 (77.5 – 50)2]
= 1.59 x 106 mm4
Momen luas kedua sekitar paksi sentroid;
Ipg = Ipg1 + Ipg2
= 7.65 x 105 + 1.59 x 106
= 23.55 x 105 mm4 #
Menentukan momen luas kedua keratan ‘I’
__________________________________________________________________
Kirakan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi satu rasuk keratan – I seperti rajah 8.20.
Rajah 8.20 : Keratan -I
Penyelesaian
(i) Bahagikan keratan-I kepada tiga komponen segiempat.
(ii) Tentukan kedudukan sentroid.
x
- Anggap y, sebagai jarak sentroid bagi setiap komponen dengan bahagian
tapak keratan, paksi x.
- Anggap sebagai jarak sentroid keratan-I dengan tapak keratan, paksi x
Komponen 1
A1 = 60 x 20
= 1200 mm2
y1 = 20 + 100 +
= 130 mm
sambungan……
Komponen 2
A2 = 100 x 20
= 2000 mm2
y2 = 20 +
= 70 mm
Komponen 3
A3 = 100 x 20
= 2000 mm2
y3 =
= 10 mm
Dengan itu;
=
=
= 60.77 mm
(iii) Momen luas kedua
Komponen 1
Ipg1 =
=
= 40 x 103 mm4
Dari teorem paksi selari;
Ix1 = Ipg + Ad2
= 40 x 103 + [1200 x (130 – 60.77)2]
= 5.79 x 106 mm4
Komponen 2
Ipg2 =
= 1.67 x 106mm4
Dari teorem paksi selari;
Ix2 = Ipg + Ad2
= 1.67 x 106 +[2000 (70-60.77)2]
= 1.84 x 106 mm4
Komponen 3
Ipg3 =
= 6.67 x 104mm4
Dari teorem paksi selari;
Ix3 = Ipg + Ad2
= 6.67 x 104 +[2000(60.77-10)2]
= 5.22 x 106 mm4
Momen luas kedua keratan-I sekitar paksi sentroid;
Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3
= (5.79 x 106) +(1.84 x 106) + (5.22 x 106)
= 1.285 x 107 mm4 #
- SEBELUM MENERUSKAN KE INPUT YANG BERIKUTNYA,
SILA UJI KEFAHAMAN ANDA.
- SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
8.5 Benar – Palsu [ Tandakan pada kotak yang berkenaan ]
(a) Momen luas kedua menunjukkan kekukuhan sesuatu keratan.
Benar Palsu
(b) Teorem paksi selari hanya boleh digunapakai sekiranya salah satu paksi
keratan adalah paksi sentroid.
Benar Palsu
(c) Momen luas kedua adalah salah satu kriteria untuk menentukan ketahanan sesuatu bentuk keratan menahan lenturan
Benar Palsu
(d) Keratan segiempat tepat lebih kukuh dari keratan –T.
Benar Palsu
8.6 Bandingkan dua keratan rasuk berikut dan nyatakan keratan manakah yang lebih kukuh.
(a) (b)
8.7 Kirakan momen luas kedua bagi keratan segiempat tepat sekitar paksi
sentroid. Keratan tersebut mempunyai ukuran 60mm lebar dan 40mm dalam.
8.8 Tentukan modulus keratan bagi keratan pada (8.3).
8.9 Kirakan momen luas kedua bagi keratan bulat bergarispusat 40mm terhadap
paksi sentroid.
8.5 (a) Benar
(b) Benar
(c) Benar
(d) Palsu
8.6 Keratan (a)
8.7 Ix = 7.2 x 105 mm4
Iy = 3.2 x 105 mm4
8.8 Zx = 3.6 x 104 mm3
Zy = 1.6 x 104 mm3
8.9 125.7 x 103 mm4
_______________________________________________________________________________________________________
SEKIRANYA ANDA TELAH YAKIN , ANDA BOLEH MENCUBA PENILAIAN KENDIRI BERIKUTNYA.
ANDA DIGALAKKAN MEMBUAT RUJUKAN TAMBAHAN
1. Satu per empat daripada keratan rasuk 50mm x 50mm seperti rajah di bawah telah di potong. Tentukan kedudukan sentroid dan nilai momen luas kedua sekitar paksi sentroid.
2. Kirakan momen luas kedua bagi keratan T di sekitar paksi sentroid. Tentukan
juga modulus keratan bagi keratan tersebut.
3. Tentukan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi keratan yang
ditunjukkan di bawah. Keratan tersebut mempunyai lubang bergarispusat
15mm.
4. Kirakan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi keratan rasuk H di bawah.
5. Kirakan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi keratan pembentung
kekotak di bawah.
Anda digalakkan membuat rujukan tambahan dan menyemak jawapan dengan pensyarah.
___________________________________________________________
SEKIRANYA ANDA TELAH BERJAYA MENJAWAB DENGAN BETUL, MARILAH BERPINDAH KE UNIT 9
Tips…..
Bagi memudahkan kiraan, bahagikan bentuk tersebut kepada bentuk geometri asas i.e dua komponen segiempat tepat.
PENYELESAIAN MASALAH 8 b
Bagi memperkukuhkan pengetahuan anda dalam menentukan kedudukan titik sentroid, marilah ikuti siri penyelesaian masalah berikutnya.
(a) Bentuk ‘I’ (b) Bentuk Bulatan Berongga
Rajah 8.4 : Bentuk Keratan Dua Paksi Simetri
PENYELESAIAN MASALAH 8 c
Tips….
Bentuk ‘T’ mempunyai satu paksi simetri, yy. Dengan itu kedudukan sentroid merujuk kepada paksi y, boleh ditentukan dengan membahagi dua lebar keratan ‘T’ tersebut i.e 75mm. Hanya kedudukan sahaja yang perlu dikira.
2
SEKIRANYA TELAH BERSEDIA, ANDA BOLEH MENCUBA SOALAN-SOALAN AKTIVITI YANG DISEDIAKAN BERIKUTNYA.
* Unit 8 mempunyai perkaitan rapat dengan unit 9, pastikan
anda dapat menguasai kiraan momen luas kedua.
AKTIVITI 8B
Momen luas kedua terhadap paksi sentroid
Jarak terjauh keratan dengan paksi sentroid
Z =
Marilah mencuba penyelesaian masalah berhubung momen luas kedua.
MAKLUMBALAS AKTIVITI 8B
PENILAIAN KENDIRI
MAKLUMBALAS PENILAIAN KENDIRI
W
B
A
Rajah 8.2(a) : Rasuk Melendut
Zon Mampatan
M M
Zon Tegangan
W
Rajah 8.2(b) : Rasuk Meleding
A
B
Zon Tegangan
M M
Zon Mampatan
B
A
PENYELESAIAN MASALAH 8 a
1000mm
800mm
Tips…..
Keratan di atas mempunyai dua paksi simetri, maka sentroid bagi keratan ini terletak pada persilangan kedua-dua paksi.
y
x
y
x
1
2
Tips….
Bagi memudahkan kiraan, keratan ‘T’ dibahagikan kepada dua bentuk geametri asas i.e segiempat tepat
Masalah 8b dan 8c juga boleh diselesaikan dalam bentuk jadual, mari ikuti penyelesaian masalah 8d.
Anda bebas memilih teknik yang anda sukai.
PENYELESAIAN MASALAH 8 d
30mm
30mm
30mm
15mm
Y
X
1
2
3
4
Tips….
Keratan di bahagikan kepada empat bentuk asas geometri
AKTIVITI 8A
MAKLUMBALAS AKTIVITI 8A
INPUT 8B
Nota :
Ipg = Asalan paksi-paksi terletak di sentroid
Ixx = Asalan paksi-paksi terletak di penjuru
100 mm
240 mm
40 mm
300 mm
40 mm
300 mm
50 mm
50 mm
50 mm
100 mm
Daripada rajah 8.14 kita dapati luas keratan rasuk yang sama tetapi memberi nilai momen luas kedua yang berbeza. Jelas, bentuk keratan mempengaruhi nilai momen luas kedua dan seterusnya keupayaan rasuk menanggung beban.
??? Keratan manakah merupakan keratan yang paling kukuh????