TEORI LENTURAN
OBJEKTIF AM :
Mempelajari dan memahami paksi neutral, teori lenturan, tegasan lenturan dan taburan tegasan lenturan.
OBJEKTIF KHUSUS:
Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat:-
TEORI LENTURAN
INPUT 9
9.0 PENGENALAN
Di dalam topik 2 anda telah didedahkan apabila rasuk dibeban, ia mengalami momen lentur dan daya ricih pada keseluruhan keratan rasuk. Di dalam unit ini kita akan melihat dengan lebih lanjut berhubung kesan momen lentur sahaja berbanding daya ricih. Apabila rasuk ditindakkan beban pada paksi memanjangnya, ia cenderung untuk melentur dan analisis magnitud lenturan telah dibincangkan dalam topik 2. Apa yang akan ditentukan dalam unit ini adalah tegasan dalaman yang wujud di dalam keratan rasuk tersebut untuk menentang momen lenturan. Tegasan dalaman ini dikenali sebagai tegasan lentur. Teori lenturan merupakan teori yang yang menerangkan tentang tegasan lentur pada satu-satu keratan rasuk.
9.1 TEORI LENTURAN MUDAH
Teori lenturan mudah, merupakan suatu teori yang membolehkan analisis berhubung nilai dan agihan tegasan lentur yang berlaku pada mana-mana bahagian keratan rasuk. Sebagaimana yang telah dibincangkan dalam unit 8, tahap lenturan pada bahagian keratan rasuk adalah berbeza, bergantung kepada jarak dari paksi neutral. Lenturan pada paksi memanjang rasuk cenderung mengakibatkan berlaku mampatan dan tegangan pada keratan memanjang.
Namun demikian, terdapat beberapa andaian yang perlu diikuti bagi mendapatkan teori lenturan iaitu;
(i) Keratan rentas rasuk tetap rata, sebelum dan selepas pembebanan.
(ii) Bahan rasuk adalah homogen (sejenis) dan mematuhi Hukum Hooke.
(iii) Modulus keanjalan untuk tegangan dan mampatan adalah sama.
(iv) Rasuk adalah lurus dan mempunyai keratan rentas yang seragam sepanjang keratan rasuk.
(v) Beban mesti bertindak selari dengan paksi tegak keratan rentas rasuk dan berserenjang terhadap paksi memanjang rasuk.
Bagi mendapatkan tegasan lentur, pertimbangkan satu rasuk AB yang dibebankan dengan daya luaran sebesar P. Rasuk akan melentur dengan permukaan atas rasuk mengalami mampatan dan permukaan bawah mengalami tegangan.
9.1.1 Penerbitan Formula Tegasan Lentur
Pertimbangkan satu unsur kecil, dx bagi rasuk yang mengalami momen lentur. (Rajah 9.2) Akibatnya, bahagian kecil rasuk tersebut akan melentur dengan O sebagai pusat jejari lengkungan.
Di mana;
M = Momen
= Sudut lengkungan
R = Jejari lengkungan
Pertimbangkan;
- Filamen PQ berjarak y dari RS, paksi neutral rasuk.
- Filamen ini akan termampat kepada P’Q’ selepas lenturan.
Pengurangan panjang bagi filamen PQ:-
l = PQ – P’Q’
sambungan......
Keterikan, =
= -------- (i)
Pertimbangkan bentuk geometri lengkungan pada rajah 9.2(b), didapati dua bahagian OP’Q’ dan OR’S’ adalah sama;
=
@ 1 - = 1 -
dipermudahkan :
=
=
Dari (i) : =
Diketahui;
Tegasan, = Terikan x Modulus Keanjalan
= x E
= y x
@
9.1.1.1 Momen Rintangan
Pada bahagian yang awal, telah dibincangkan bahawa lenturan pada rasuk disebabkan faktor tindakan momen pada kedua hujung keratan rasuk. Terdapat tegasan lentur dalam keratan rasuk yang menghasilkan momen rintangan yang sama nilai dengan momen luaran. Pertimbangkan keratan rasuk dibawah. (Rajah 9.3)
Rajah 9.3 : Unsur Keratan Rasuk
Pertimbangkan filamen PQ yang berjarak y dari paksi neutral;
Anggap;
a = luas filamen PQ
Diketahui;
= y x
Jumlah tegasan pada filamen ini
PQ = y x x a
Momen filamen PQ terhadap paksi neutral
M = y x x a x y
= . y2. a ---------(i)
Nilai y2. a mewakili nilai momen luas kedua filamen terhadap paksi neutral;
M = x I
=
= =
9.2 KEDUDUKAN PAKSI NEUTRAL
Telah dibincangkan terdahulu, bahawa paksi neutral merupakan satu filamen yang tidak mengalami ubah bentuk akibat lenturan. Filamen ini seolah-olah tidak ditindakkan dengan daya momen lentur. Sebagaimana yang telah dibuktikan dari ‘Teori Lenturan’, tegasan lentur berkadar dengan jarak filamen dari paksi neutral. Semakin jauh filamen dari paksi neutral maka semakin tinggi tegasan lenturan yang di alami.
Persoalannya, di manakah kedudukan paksi neutral. Sila imbas kembali perbincangan dalam unit 8, di mana sebarang momen luas diambil terhadap paksi sentroid adalah sifar. Ini menunjukkan paksi neutral sesuatu keratan merentasi paksi sentroid bagi keratan tersebut. Dengan itu, untuk menentukan kedudukan paksi neutral, terlebih dahulu perlu mencari sentroid bagi keratan tersebut .
9.3 TABURAN TEGASAN LENTUR
Bagi rasuk tupang mudah, tegasan mampatan berada di atas paksi neutral dan tegasan tegangan berada di bawah paksi neutral. Pada paksi neutral tidak terdapat tegasan lentur. Tegasan lentur maksimum, m terletak pada jarak yang terjauh dari paksi neutral.(Rajah 9.4)
Rajah 9.4: Taburan Tegasan Lentur
Mengira tegasan lentur maksimum dan melakar taburan tegasan
Sebatang rasuk yang ditupang mudah 2m panjang, dikenakan beban teragih seragam 15 N/mm seperti rajah di bawah. Tentukan tegasan lentur maksimum yang berlaku dalam keratan rasuk yang berukuran 30mm lebar dan 70mm dalam. Lakarkan agihan tegasan lentur yang berlaku ke atas keratan tersebut.
Penyelesaian
(i) Momen luas kedua sekitar paksi neutral bagi segiempat tepat;
Ipg=
=
= 8.58 x 105 mm4
(ii) Momen lentur maksimum bagi rasuk tupang mudah dengan beban
teragih seragam;
Mmak =
=
= 7.5 x 106 Nmm
(iii) Tegasan lentur maksimum berlaku pada jarak 35mm dari paksi neutral;
mak =
=
= 305.94 N/mm2
(iv) Lakaran agihan tegasan lentur
Menentukan nilai beban yang boleh ditanggung rasuk
Satu keratan rasuk mempunyai kedalaman 300mm ditupang mudah pada rentang sepanjang 4m. Apakah nilai beban teragih seragam yang boleh ditanggung oleh rasuk tersebut, sekiranya tegasan lentur tidak boleh melebihi 120 N/mm2. [ I = 8 x 106 mm4 ]
Penyelesaian
Diketahui momen maksimum rasuk tupang mudah dengan beban teragih seragam adalah ;
M = = = 2w -------------(i)
Diketahui;
=
M = x 8 x 106
= 6.4 x 106 Nmm
= 6.4 x 103 Nm
Dari (i);
2w = 6.4 x 103
w = = 3.2 x 103 N/m #
Menentukan tegasan lentur maksimum keratan T
Satu rasuk keluli keratan T , ditupang mudah sepanjang 3m dan menanggung beban teragih seragam 17 N/mm pada keseluruhan rentang. Kirakan tegasan lentur maksimum keratan ini.
Penyelesaian
Langkah-langkah penyelesaian
(i) Tentukan sentroid bagi keratan tersebut.
(ii) Tentukan momen luas kedua .
ymak = 77.5 mm dan I = 23.55 x 105 mm4
(iii) Mengira tegasan lentur maksima
Diketahui;
Mmak =
=
= 19.13 x 106 Nmm
Diketahui;
mak = x ymak
= x 77.5
= 629.54 N/mm2 #
Satu rasuk julur 4m panjang mempunyai keratan rentas I. Rasuk ini membawa beban teragih seragam 15 N/mm pada keseluruhan rentangnya. Kirakan tegasan lentur maksimum dan lakarkan taburan agihan tegasan.
Penyelesaian
Langkah-langkah penyelesaian
(i) Tentukan sentroid bagi keratan tersebut.
(ii) Tentukan momen luas kedua .
ytegangan = 79.23 mm ; ymampatan = 60.77 mm ; I = 1.285 x 107 mm4
(iii) Mengira tegasan lentur maksima.
Diketahui;
Mmak = -
= -
= 120 x 106 Nmm
Diketahui;
mampatan maksima = x ymampatan
= x 60.77
= 567.5 N/mm2
tegangan maksima = x ytegangan
= x 79.23
= 739.9 N/mm2
(iv) Taburan agihan tegasan lentur
- SEBELUM MENERUSKAN KE INPUT YANG BERIKUTNYA,
SILA UJI KEFAHAMAN ANDA.
- SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
9.1 Padankan lajur 1 dan lajur 2 di bawah.
9.2 Satu rasuk mempunyai keratan rentas berukuran 250mm (dalam) x 150mm (lebar) ditindakkan dengan momen lentur maksimum 750 kNm. Tentukan tegasan lentur maksimum dalam keratan rasuk.
9.3 Sebatang rasuk berkeratan rentas 300mm(dalam) x 100mm (lebar) mengalami momen lentur maksimum 170 Nmm. Tentukan tegasan lentur pada pada jarak 50mm dari permukaan atas rasuk.
9.1 (i) A. Tegasan lentur
(ii) B. Teori lenturan
(iii) C. Paksi neutral
(iv) C. Paksi neutral
(v) B. Tegasan lentur
9.2 Contoh penyelesaian
Ix’ = = = 1.953 x 10-4 m4
Tegasan lentur maksimum berlaku pada jarak yang terjauh dari paksi sentroid;
y = = = 0.125 m
=
- =
- = = 480 MN/m2 #
9.3 Contoh penyelesaian
Ix’ = = = 225 x 106 mm4
Diberi , y = 50mm
- = = = 3.778 x 10-5 N/mm2 #
1. Satu rasuk keluli T sepanjang 5m ditupang mudah , membawa satu beban tumpu sebanyak 25kN yang terletak 2.5m dari satu hujung. Dapatkan:
(a) Kedudukan paksi neutral
(b) Momen luas kedua merujuk kepada paksi neutral.
(c) Tegasan maksima (nyatakan samada tegangan atau mampatan)
(d) Lakarkan agihan tegasan lentur.
2. Sebatang rasuk keluli berbentuk H disokong mudah pada kedua-dua hujungnya. Rasuk ini dikenakan beban tumpu 15 kN pada pertengahan rentangnya dan beban teragih seragam 8 kN/m pada keseluruhan rentangnya. Tentukan tegasan lentur maksimum dan lakaran agihan tegasan.
3. Kirakan tegasan tegangan dan mampatan maksimum yang terjadi dalam rasuk berkeratan rentas segiempat tepat berongga dan lukis taburan tegasannya.
Anda digalakkan membuat rujukan tambahan dan menyemak jawapan dengan pensyarah.
___________________________________________________________
SEKIRANYA ANDA TELAH BERJAYA MENJAWAB DENGAN BETUL, MARILAH BERPINDAH KE UNIT 10
Rajah 9.2 : Teori Lenturan
SEKIRANYA TELAH BERSEDIA, ANDA BOLEH MENCUBA SOALAN-SOALAN AKTIVITI YANG DISEDIAKAN BERIKUTNYA.
AKTIVITI 9
Lajur 2
A. Teori Lenturan
B. Tegasan lentur
C. Paksi neutral
Lajur 1
( ……) (i) Tegasan dalaman yang wujud di dalam
keratan rasuk tersebut untuk menentang
momen lenturan.
( ……) (ii) Teori yang yang menerangkan tentang
tegasan lentur pada satu-satu keratan rasuk.
( ……) (iii) Tahap lenturan pada bahagian keratan rasuk
adalah berbeza, bergantung kepada jarak dari
__________ .
( ……) (iv) __________ merupakan satu filamen yang
tidak mengalami ubah bentuk akibat lenturan.
( ……) (v) __________ berkadar dengan jarak filamen
dari paksi neutral.
MAKLUMBALAS AKTIVITI 9